Ambos os substantivos significam the act of doing away with something, e não possuem nenhum significado compartilhado.
Tais termos datam do século 16 (logo após a expressão abolish entrar no Inglês vinda de raízes francesas), mas abolition sempre foi mais comum, e hoje aparece dez vezes mais que abolishment nos resultados de busca.
Alguns escritores reservam abolishment para sentidos não relacionados com escravidão, mas a distinção é desnecessária.
Exemplos
Nos exemplos a seguir, abolishment não está errado, mas o termo mais comum abolition funciona melhor:
Top EU officials, while speaking in favor of the measure, have said that full abolishment of visas won’t happen in the near future. [CNN International]
Among the topics broached in this effort was the removal of the two-line pass and the abolishment of the trapezoid area behind the net. [Fox News]
E os exemplos abaixo mostram que abolition pode denotar o término de alguma coisa (não apenas escravidão):
Within hours of the first reports of trouble at Japan’s nuclear power plants, calls for abolition could be heard around the world. [Vancouver Sun (article now offline)]
The abolition of prescription charges in Scotland has sparked division and anger … [Scotsman]
Supporters of negative gearing argue that its abolition would lead to a ”landlords’ strike” … [Sydney Morning Herald]
