E, pra ser sincero, a resposta não podia ser mais simples:
Significam a mesma coisa.
Isso mesmo: sem blá blá blá nem enrolação. O que varia é quem e onde se utiliza esses termos.
Ambos os termos while e whilst têm sido empregados na língua inglesa há muito tempo. “While” está em uso desde os tempos do Inglês Antigo; Whilst foi uma evolução ocorrida na idade média.
Como conjunções estas expressões são intercambiáveis quanto ao significado, mas Whilst não sobreviveu ao padrão aplicado no inglês Americano.
Alguns exemplos:
I waited whilst the guy delivered my box.
She waited while lunch was done.
Aos ouvidos de um americano o termo whilst soa bem pitoresco. Alguns Britânicos e Canadenses entendem mas mas acham meio fora de moda, mas os preferem usar Whilst e não While.
